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Mis à jour : il y a 8 heures 25 min

Le Frido : un livre, libre, de mathématiques pour l’agrégation

27 septembre, 2017 - 11:54

La version 2017 du Frido, ce bouquin de mathématiques dont un des intérêts est d’être libre, est publiée.

Fort d’environ 2 000 pages, il couvre la quasi entièreté du programme d’agrégation. Ce cours de mathématiques est libre au sens de la licence FDL et ses sources LaTeX sont sur GitHub depuis le début du projet.

Sommaire Le Frido 2017

Pour la plus grande joie des personnes qui seront admises aux oraux de l’agrégation de mathématiques en 2018, l’édition 2017 du Frido vient de sortir.

Il contient pratiquement tout le programme de l’agrégation en un seul bouquin ; pratique pour la cohérence des notations et des définitions. Publié sous licence FDL et disponible au téléchargement aussi bien qu’à l’achat.

Mathématiques

Du point de vue de la mathématique, on part d’une théorie naïve des ensembles (on suppose les nombres rationnels construits) et on va jusqu’aux processus markoviens en passant par les distributions, les groupes/anneaux/corps, la théorie de la mesure, les espaces vectoriels et d’autres.

Une caractéristique importante est que tous les résultats sont placés dans l’ordre mathématiquement logique : il n’y a jamais une démonstration qui dit « nous verrons plus loin que ». Cela impose une très forte contrainte sur la division en chapitres. Par exemple :

  • les fonctions trigonométriques sont définies par leurs séries (tout le monde dit qu’on peut le faire, mais qui le fait vraiment ?) ;
  • les rotations dans le plan sont définies comme composées de deux symétries axiales.

Démontrer à partir de ces définitions qu’une rotation est une application linéaire dont la matrice dans la base canonique est celle que l’on connaît est fait en détail dans le Frido, mais c’est un peu long.

Le niveau visé

Le Frido tente de faire le grand écart entre deux tendances :

  • le niveau mathématique est élevé : les définitions sont posées dans des cas assez généraux et quelques larges digressions hors programme sont inclues.
  • le niveau pédagogique est d’aller au plus détaillé possible. Rien n’est considéré comme évident. Toutes les justifications utiles sont données et les renvois vers les théorèmes utilisés sont explicites. Pas non plus d’abus de notations.

Le texte est donc long, mais il ne devrait pas y avoir de blocages. Et s’il y a un bocage, une justification qui manque, contactez l’auteur ; il est sympa et il tient compte des remarques.

Le modèle économique.

Il n’y a pas de modèle économique. Enfin, si… Le modèle est que j’écris gratos et vous m’envoyez gratos vos correctifs. Plus précisément :

  • sur thebookedition, j’ai fixé mon bénéfice à zéro et donc les ventes me rapportent littéralement zéro ;
  • sur lulu.com, le bénéfice est fixé par le site, mais on peut accorder une réduction allant de 10 % à 60 % du prix. Il n’y a pas moyen de ne pas faire de bénéfices. Bref, sur chaque livre vendu sur lulu.com je prends entre 40 et 50 centimes qui me seront envoyés sous forme d’un chèque de 20 dollars lorsque cette somme sera atteinte.
Comment contribuer ?
  • en parler autour de vous si vous connaissez du monde qui compte passer l’agrégation de mathématiques cette année ;
  • signaler toutes les erreurs, imprécisions et choses obscures que vous pourriez trouver en lisant ;
  • le Frido manque d’exemples de tout, partout. Merci de me signaler ce que je peux ajouter.

Une liste de questions ouvertes et de demandes précises est dans l’introduction du Frido. Elle est à peu près classée par thèmes (algèbre, analyse, informatique) et par difficultés. Il y en a pour tous les goûts : depuis la création d’un environnement plus beau pour les exemples, jusqu’à des questions fines de topologie sur les espaces de distributions.

Recompiler le texte chez vous

Alors là, c’est le point noir.

Python

Vu la complexité du bouzin, il y a une pile fortement non négligeable de scripts de précompilation avant de passer à . C’est tout en python, mais ça utilise des modules personnels.

  • latexparser est un module personnel qui sert à manipuler du code  ;
  • pytex est un script personnel qui s’appuie sur latexparser pour faire une montagne de modifications du code du Frido à la volée avant de passer la main à pdfLatex.

Il y a un manuel du contributeur qui explique comment faire.

pdflatex

Ben oui, un moment il y a un logiciel qui fait le travail, et c’est pdflatex.

Sage

Les images sont toutes en Tikz, qui possède un mécanisme pour ne pas recompiler les figures à chaque fois. Les PDF des figures sont fournies dans le dépôt Git.

Le code Tikz est généré par phystricks (encore un module personnel) qui se base sur SageMath. Seuls les plus braves seront capables de modifier les figures.

EPUB

Nous avions parlé en 2016 de produire un livre numérique, mais il y a des problèmes techniques pas tout à fait évidents à surmonter. Ce ne sera sans doute pas pour tout de suite.

Journal des modifications depuis septembre 2016 Maths
  • ajout de pas mal de choses concernant la géométrie projective, entre autres sur le groupe circulaire ;
  • analyse numérique, méthode des différences finies, quelques schémas pour le Laplacien ;
  • sous‐groupes finis de SO(3) ;
  • une démonstration complète du fait que le flot de y’ = f(y,t) est Cp lorsque f est Cp (c’est le genre de choses que j’appelais plus haut une « large digression hors programme ») ;
  • beaucoup de corrections de fautes et d’imprécisions un peu partout. Entre autres, une signalée par un lecteur : le Frido 2016 prétendait, démonstration à l’appui, que tout anneau intègre est euclidien. Faux.
Autres
  • Simplification du dépôt Git. Maintenant tous les fichiers concernant le Frido sont dans tex/frido. La compilation reste compliquée ; le fichier principal est mazhe.tex, mais faire pdflatex mazhe.tex ne fera pas ce que vous croyez.
  • Passage de 3 à 4 volumes. Un lecteur de la version papier m’a signalé qu’au‐delà de 500 pages, c’est compliqué à manipuler dans le train. Mais, dit‐il, autour de 500 pages, c’est vraiment la frime à sortir de son sac.
  • Le livre est en vente également chez lulu.com. Chez lulu, le prix de chaque volume est de 15 euros (20 € chez thebookedition.com), mais il n’y a pas les belles images de couverture de Pepper & Carrot.
Journal des modifications depuis septembre 2017

Ben oui, il y a déjà du nouveau. Je me suis rendu compte hier que la définition de L2 était fausse (les fonctions sont à valeurs dans C et non dans R).

Bref, lisez attentivement et reportez‐moi toutes les fautes que vous trouveriez. La version de septembre 2018 pour les oraux de 2019 n’en sera que meilleure.

Remerciements
  • Tous les contributeurs. Six sont recensés sur GitHub, mais il y en a pas mal d’autres qui ont apporté leur pierre soit directement dans les commentaires ici en 2016, soit par courriel.

  • Les mathématiciens qui ont mis leurs notes en ligne. La bibliographie a 362 entrées, presque toutes en ligne. Ce sont tous des textes que j’ai réellement utilisés à un moment ou un autre.

  • Les personnes qui ont écrit sur Wikipédia. J’ai lu énormément d’articles et, souvent, je me suis fixé sur les notations et définitions de Wikipédia. Si vous comptiez m’envoyer du fric pour le Frido, faites plutôt un don à Wikipédia.

  • Les dessins des couvertures chez thebookedition.com proviennent de Pepper&Carrot par David Revoy, publié sous licence CC-BY 4.0. Au passage, merci à lui.

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